Osservazioni: poiché l’equazione generica della parabola y = a x ² + b x + c presenta tre coefficienti incogniti a, b, c, che dobbiamo essere determinare, occorrono dunque tre elementi. Alcuni di questi elementi possono essere:

1. le coordinate di tre punti non allineati

2. le coordinate del vertice e quelle di un punto

3. le coordinate del fuoco e della direttrice

4. le coordinate di un punto e del fuoco

Risolviamo dunque problemi per ognuno dei punti sopraelencati.

1. Problema

Scrivere l’equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle y e passante per i punti A(-2; -7), B (4; -7) e C (-3; 0).

Poiché la parabola ha l’asse  di simmetria parallelo all’asse delle ordinate, l’equazione della parabola richiesta è della forma:  y = a x ² + b x + c.

Affinché la parabola passi per i tre punti dati occorre che le loro coordinate soddisfino la sua equazione, ottenendo così tre condizioni  che metteremo a sistema :

2. Problema

Scrivere l’equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle y, avente vertice V(1; -5) e passante per P (3; 3)

Scriviamo l’equazione generica della parabola con asse di simmetria parallelo alle y:

y = a x ² + b x + c

N.B.: la conoscenza del vertice equivale a due condizioni:

1) condizione di passaggio per V, dato che V è un punto della parabola:

-5 = a (1) ² + b ^. 1 + c     →     a + b + c =  -5

2) considerare l’ascissa del vertice in funzione dei coefficienti della parabola:

La terza condizione si ottiene poi imponendo il passaggio per P(3; 3):

3 = a (3) ² + b ^. 3 + c     →   9 a + 3 b + c =  3

Risolviamo dunque il sistema costituito dalle tre condizioni trovate:

3. Problema

Scrivere l’equazione della parabola con l’asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate, avente per fuoco il punto F( 6; 10) e per direttrice la retta d di equazione: y = - 4.

In base ai dati, per determinare l’equazione della parabola, anziché utilizzare le formule delle coordinate del fuoco e della direttrice per determinare le tre condizioni e metterle poi a sistema, ricorriamo più semplicemente alla sua definizione di luogo geometrico che ricordiamo è costituito da tutti e soli i punti equidistanti dal fuoco e dalla direttrice, ovvero detto P(x; y) un qualsiasi punto della parabola si deve avere che:

4. Problema

Scrivere l’equazione della parabola avente asse di simmetria parallelo alle y , fuoco F(-1;1) e passante per il punto P( -2;1)

Scriviamo l’equazione generica della parabola con asse di simmetria parallelo alle y:

y = a x ² + b x + c

N.B.: la conoscenza del fuoco equivale a due condizioni:

1) l’ascissa del fuoco deve essere uguale a -1 quindi si ha la condizione: