Per determinare l’equazione di una retta tangente a una parabola passante per un punto P assegnato utilizzeremo il metodo generale, già descritto nella circonferenza e che ricordiamo è detto generale proprio perché è valido per qualsiasi conica.
Tenendo presente che tale punto non può essere interno alla concavità della parabola stessa, si presentano due soli casi:
Richiamiamo quindi per la risoluzione del problema della tangente alla parabola il
METODO GENERALE:
1. si scrive l’equazione della generica retta passante per un punto noto P(x1; y1):
y – y1 = m ( x – x1)
2. si imposta il sistema fra le equazioni della parabola e della generica retta:
3. per confronto o sostituzione si ottiene l’equazione risolvente il sistema di 2° grado
4. si pone ∆ = 0 (condizione di tangenza) affinché la retta diventi tangente alla parabola
5. si risolve l’equazione così ottenuta nell’incognita m e indicate con m1 e m2 le soluzioni si hanno i seguenti due casi:
§ m1 ≠ m2 , cioè esistono due rette tangenti, quando il punto P è esterno alla parabola
§ m1 = m2 , cioè esiste una sola retta tangente, quando P appartiene alla parabola
6. si sostituisce la soluzione o le soluzioni trovate nell’equazione della generica retta
1. Problema
Data la parabola y = 3 x 2 – 2 x – 3, trovare l’equazione della retta tangente alla parabola nel suo punto P di ascissa 2.
Seguiamo i passi descritti nel metodo generale per la determinazione della tangente.
Il punto P appartiene alla parabola, essendo:
xP = 2 → yP = f ( xP ) = 3 . 2 2 – 2 . 2 – 3 = 12 – 4 – 3 = 5 → P (2; 5)
ed inoltre come sappiamo esiste una sola retta uscente da P tangente alla parabola.
Scriviamo l’equazione della generica retta passante per il punto dato P(2;5):
y – 5 = m ( x – 2)
Impostiamo il sistema fra le equazioni della parabola e della generica retta per P:
2. Problema
Trovare le equazioni delle tangenti alla parabola di equazione y = 2 x 2– 6 uscenti da
Il punto P è esterno alla parabola, infatti: