Una funzione  y = f (x) è periodica di periodo T ( con T > 0 ) se si ha:

(*)   f ( x + k T ) = f (x)

ovvero, se sostituendo ( x + k T ) al posto di x, il valore della funzione non cambia.

Il più piccolo valore positivo di T viene detto minimo  periodo o periodo principale.

Le funzioni goniometriche, come sappiamo, sono periodiche e precisamente sen x e cos x hanno minimo periodo  T = 360° oppure T = 2π, mentre tg x e ctg x hanno minimo periodo T = 180° oppure T = π.

Vediamo adesso, direttamente con alcuni esempi come si determina il periodo delle funzioni goniometriche

Esercizi svolti

1. Determinare il periodo della funzione   y = cos 2x

Sappiamo che la funzione coseno di un angolo è periodica quindi per la (*) si ha:

cos [ 2(x + k T )] = cos 2x  →  cos ( 2x + 2 k T ) = cos 2x

essendo 360° il periodo del coseno di un angolo,  si ha che il 2° membro dell’ultima eguaglianza si può scrivere come:

cos 2x  = cos ( 2 x + k360° )

quindi per transitività segue che:

2. Determinare il periodo della funzione   y = sen ( 3x + a)

Per la periodicità del seno di un angolo deve verificarsi la (*) e tenendo in considerazione il periodo di  2π  del seno di un angolo si ha:

sen [ 3 (x + k T ) + a] = sen ( 3x + a) = sen[( 3x + a) + 2 k π]

quindi segue che:

sen [ 3 (x + k T ) + a] = sen[( 3x + a) + 2 k π ]   →   3 (x +  k T ) + a = 3x + a + 2 k π

Regola generale per la determinazione del periodo

Dai due esercizi precedentemente svolti possiamo dedurre la regola generale per la determinazione del periodo di funzioni goniometriche. Infatti se dobbiamo determinare il periodo della funzione di equazione generale:

y = a sen (ω x + β )

procediamo al solito nel seguente modo:

a sen [ ω (x + k T ) + β ] = a sen [(ω x + β ) +2 k π ]

da cui

ω (x + k T ) + β = ω x + β  +2 k π

Analogamente si procede per la determinazione del periodo minimo della tangente o della cotangente di un angolo, basta solo sostituire il loro periodo π nella regola precedente al posto di 2 π , cioè:

con ω coefficiente numerico dell’angolo x.

Esercizi svolti

Determinare il periodo minimo delle seguenti funzioni goniometriche: