Premessa

Il calcolo integrale trae origine dalla necessità di risolvere due problemi fondamentali, l’uno di tipo algebrico che ha condotto alla definizione di Integrale indefinito e l’altro di tipo geometrico che ha condotto invece alla definizione di Integrale definito: due problemi differenti ma sostanzialmente equivalenti, come vedremo in seguito.

INTEGRALE INDEFINITO

L’integrale indefinito tre origine dalla risoluzione del seguente:

problema delle primitive: Conoscendo la derivata f(x) di una certa funzione F(x) si chiede di risalire      

alla funzione primitiva F(x), ovvero di determinare almeno una funzione F(x)              

                                            che abbia f(x) come derivata.

Dobbiamo, dunque, procedere inversamente all’operazione di derivazione.

Ad esempio, data la funzione f(x) = 2x + 4  qual è la funzione F(x) tale che la sua derivata sia

F’(x) = f(x) = 2x + 4 ?

Risposta: la funzione è

                                                                                  F(x) = x² + 4x

Infatti calcolando la sua derivata si osserva che  

                                                                               F’(x) = 2x + 4 = f(x)

Diciamo allora che F(x) è una funzione primitiva mentre che f(x) è  una funzione integrabile.

Pertanto

Definizione: Una funzione F(x) si dice primitiva di una funzione f(x), definita e continua in [a;b], se F(x)           

                     è derivabile in tutto [a;b] e la sua derivata è f(x).

Osserviamo però che F(x) non è l’unica primitiva di f(x), infatti un’altra primitiva di f(x) = 2x + 4  è la seguente funzione

G(x) = x² + 4x + 3

dato che

                                                                                  G’(x) = 2x + 4 

ma risulta anche primitiva la funzione  

H (x) = x² + 4x - 6

Poiché

                                                                                   H’(x) = 2x + 4

e ne troveremo infinite altre primitive di f(x) dato che, come si osserva, le funzioni F(x), G (x) ed H(x) differiscono tra di loro solo per una costante e la derivata di una costante è zero; quindi più in generale

F(x) + c

con c una costante reale rappresentano le infinite primitive di una funzione f(x).

Si dimostra che ogni funzione continua in un intervallo ammette sempre primitive.

L’insieme di tutte le  primitive di una funzione continua in un intervallo prende il nome di integrale indefinito e si indica con il simbolo

dove f(x) prende il nome di funzione integranda e  x variabile d’integrazione.

Il procedimento, quindi, che, a partire da una data funzione f(x),  mi permette di risalire alla sua primitiva F(x) (e perciò a tutte le primitive F(x) + c) prende il nome di operazione d’integrazione indefinita che è l’ inversa dell’operazione di derivazione.

Infatti se

Ricordiamo che:

§ l’integrale indefinito di una funzione rappresenta un insieme di funzioni

§ esistono funzioni continue che non sono derivabili, invece, ogni funzione continua è integrabile

In sintesi:

Dunque, l’integrabilità non implica necessariamente la continuità della funzione integranda in tutti i punti di [a;b].