Proprietà fondamentali delle potenze:

Risoluzione di equazioni esponenziali

Un’equazione si dice esponenziale quando l’incognita figura nell’esponente di qualche potenza con base un numero positivo e diversa da 1.

Come ad es.: 3^x-9 = 0; non lo è 2³ = 5x in quanto la x non figura ad esponente di una potenza.

Un’ equazione esponenziale elementare si presenta nella forma:

Ad esempio:

Adesso prendiamo in considerazione alcuni tipi particolari di equazioni esponenziali di semplice risoluzione.

N.B. : I primi tre tipi di equazioni esponenziali che prenderemo in considerazione sono quelle i cui due membri sono riconducibili a monomi, ovvero rappresentati da prodotti o quozienti di termini positivi nei quali l’esponente figura solo nell’esponente di alcuni di essi.

1° TIPO

Equazioni esponenziali i cui membri si possono ridurre in monomi espressi da potenze aventi la stessa base, ovvero che  si possono ridurre nella forma canonica:

Un’equazione di tal tipo equivale ad un’equazione i cui due membri sono gli esponenti di tali potenze, ovvero:

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Risolvere le seguenti equazioni esponenziali riconducibili nella forma  a ^{f (x)}  =  a ^{g (x)} :

1) 3 ^x – 9 = 0

L’equazione può essere posta nella forma canonica:

     3 ^x = 9  →   3 ^x = 3 ² → passando agli esponenti:   x = 2

che è la soluzione dell’equazione esponenziale

2) 4 ^x – 16 = 0

L’equazione si può esprimere in forma canonica:

    4 ^x = 16  →   (2 ²)^x = 2 ⁴

per la proprietà 9. delle potenze si ha:

 2 ^2x = 2 ⁴

 passando agli  esponenti si ottiene:

 2 x = 4  →  x = 2

3) 3 ^{2 – 8 x} = 9 ^{3 x + 1}

Esprimiamo i due membri in potenze aventi la stessa base e quindi nella forma canonica:

    3 ^{2 – 8 x} = (3 ²) ^{3 x + 1}

per la proprietà 9. delle potenze:

    3 ^{2 – 8 x} = 3 ^{2 (3 x + 1)}

passando agli  esponenti: 

 2 - 8 x = 2 (3 x + 1)   →  2 - 8 x = 6 x + 2   →   2 - 2 = 6 x + 8 x   → 14 x = 0  →  x = 0

4) 3 ^x + 24 = 0

Isoliamo al primo membro la potenza:

     3 ^x = -24    impossibile

Infatti sappiamo, vedi studio della funzione esponenziale, che la potenza di base positiva è sempre positiva qualunque sia il suo esponente e quindi non può essere uguale ad un numero negativo.

5) 5 ^x  = 0   

L’equazione non ha soluzione, infatti sappiamo che la potenza di base un numero positivo non si annulla mai, vedi studio della funzione esponenziale.

2° TIPO  ( che rientra anche nel 3° TIPO ! )

Equazioni esponenziali i cui due membri sono riconducibili a monomi espressi da potenze aventi lo stesso esponente, ovvero che  si possono ridurre nella forma canonica:

Un’equazione di tal tipo equivale ad un’equazione i cui due membri sono gli esponenti di tali potenze, ovvero:

Infatti si ha :

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Risolvere le seguenti equazioni esponenziali riconducibili nella  forma  a ^{f (x)}  =  b ^{f (x)}

Vi sono altri tipi di equazioni esponenziali, i cui membri per quanto ridotti a monomi non si possono in generale ricondurre a potenze aventi la stessa base o a potenze aventi lo stesso esponente, ovvero del tipo:

a ^{f (x)}  =  b ^{g (x)}

quindi  per risolverle si deve ricorrere necessariamente al calcolo logaritmo.

Pertanto, prima di esporre la tecnica risolutiva di tal tipo di equazione esponenziale, è necessario introdurre il concetto di logaritmo ed elencare le relative proprietà che saranno opportunamente applicate nella risoluzione sia di equazioni esponenziali che logaritmiche.

Definizione di logaritmo

Per introdurre il concetto di logaritmo, consideriamo la seguente equazione esponenziale elementare:

a ^x = b,       con b > 0

ad esempio:

2^x = 8  

come sappiamo la sua sola soluzione è x = 3,  infatti 3 è l’esponente che si deve dare alla base 2 (della potenza) per avere 8,  ovvero:

2³ = 8 

per questo motivo si dice anche che “ 3 è il logaritmo in base 2 di 8” e si scriverà simbolicamente nel seguente modo:

log ₂ 8 = 3

Quindi da:

2^x = 8   → x = log ₂ 8 = 3

Pertanto diremo che:

1)    log ₃ 81 = 4           perché       3⁴ = 81

ovvero perché l’esponente da dare alla base 3 del logaritmo per avere 81 è 4

2)    log ₂  32 = 5          perché       2⁵ = 32

ovvero perché l’esponente da dare alla base 2 del logaritmo per avere 32 è 5

Quindi, in generale, si ha la seguente:

Definizione: Si chiama logaritmo in base a (positiva e diversa da 1) di un numero b (reale e  positivo) l’esponente  x da dare alla base a per ottenere b

Simbolicamente:

Osservazioni:

§ se  a ^x = b → b > 0 e b ≠ 0,  perché la potenza di un numero positivo è sempre positiva e diversa da zero, quindi si deduce che l’argomento b del logaritmo deve necessariamente essere un numero reale  positivo e pertanto non esistono logaritmi di numeri negativi o di zero.

§ log _a b è la soluzione dell’equazione esponenziale  a ^x = b 

Proprietà dei logaritmi

Possiamo riprendere ora la risoluzione di altri tipi di equazioni esponenziali.

3° TIPO

In generale, quando i due membri di un’equazione esponenziale non si possono ridurre in potenze aventi la stessa base ovvero che  si può ridurre nella forma canonica:

per risolverla si ricorre al calcolo logaritmo, ovvero si considera il logaritmo dei due membri in base e oppure in base 10, di cui  sono noti i valori dei logaritmi usando la calcolatrice; ciò è lecito perché i due membri sono numeri positivi, essendo potenze di base positiva, per qualunque valore di x e quindi  risultano uguali anche i logaritmi nella stessa base  di entrambi membri, pertanto:

N.B.: il 2° Tipo di equazioni esponenziali si possono anche risolvere ricorrendo al calcolo

           logaritmico.

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4° TIPO

I membri dell’equazione esponenziale non si possono trasformare in monomi, in quanto vi compaiono addizioni o sottrazioni di termini. In questo caso non esiste un metodo generale di risoluzione ma, limitandoci ad alcune particolari equazioni, si deve cercare di trasformare l’equazione in una forma del 1° o del 3° Tipo mediante opportune sostituzioni, ricorrendo ad una variabile ausiliaria, ad esempio,  y del tipo:      

a ^{f (x)} = y

che trasformerà l’equazione esponenziale in un’equazione algebrica nell’incognita y, le cui soluzioni ci consentono poi di risalire alle soluzioni dell’equazione esponenziale.

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