Premessa: la Trigonometria studia le relazioni che intercorrono tra i lati e gli angoli di un triangolo, conoscendo la misura di tre di essi, dei quali almeno uno sia un lato.

Prima di risolvere un triangolo qualunque, vediamo quali sono le relazioni che legano le misure dei lati di un triangolo rettangolo ai valori delle funzioni goniometriche degli angoli.

Convezioni: In ogni triangolo ABC ( vedi fig.) indichiamo:

- con  la misura dell’angolo , con  la misura dell’angolo  e con  la misura dell’angolo ;

- con  a la misura del lato BC, opposto all’angolo , con  b la misura del lato AC, opposto all’angolo , e con c la misura del lato AB, opposto all’angolo .

I Triangoli Rettangoli

Consideriamo il triangolo ABC rettangolo in , ossia , ed indichiamo le misure dei lati e degli angoli secondo le convenzioni stabilite:        

pertanto l’ipotenusa misura a e i due cateti rispettivamente b e c.

Consideriamo poi, in un sistema di assi cartesiani, la circonferenza goniometrica di centro  e raggio uguale all’ipotenusa BC, vedi fig.:

Applichiamo al triangolo rettangolo le definizioni di seno, coseno e tangente dell’angolo,ottenendo le seguenti relazioni 1., 2. e 3. che legano i lati e l’angolo :

Pertanto possiamo sintetizzare affermando quanto segue:

In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto si esprime come:

v prodotto della misura dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso oppure per il coseno dell’angolo acuto ad esso adiacente;

v prodotto della misura dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto al cateto stesso

queste proprietà sono note come Teorema dei Triangoli Rettangoli.

Come vedremo più avanti nella risoluzione dei triangoli rettangoli, da queste relazioni si possono ricavare come formule inverse gli altri elementi che vi compaiono.

Si fa presente inoltre che tali relazioni sono importanti perché noti tre elementi (lati o angoli) di un triangolo, di cui almeno un lato, ci consentono di determinare i restanti elementi che non sempre è possibile con la geometria euclidea.

Risoluzione dei triangoli rettangoli

Risolvere un triangolo rettangolo significa dunque determinare le misure dei suoi angoli e lati, conoscendo, oltre l’angolo retto, altri due suoi elementi di cui almeno un lato.

Premetto che per risolvere tali triangoli basta memorizzare solo  le seguenti relazioni fondamentali di base:

che come si osserva legano sempre tre elementi del triangolo, come ad es. b, a e  nella prima relazione, per cui in generale noti due qualsiasi elementi del triangolo il terzo si ricava facilmente dalla formula inversa della relazione che lega i due elementi noti, senza bisogno di memorizzare altre relazioni.

Inoltre osserviamo che gli angoli acuti (cioè minori di 90°) sono complementari. Infatti la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180°, ovvero:

Esaminiamo i seguenti 4 casi: 2 casi in cui sono noti due lati e 2 casi in cui sono noti un lato ed un angolo.

1° Caso: sono noti un cateto e l’ipotenusa

Ad esempio conosciamo c e a, quindi dobbiamo determinare b, e .

Osserviamo che tra le relazioni fondamentali dei triangoli rettangoli ve ne sono ben due, la 1.bis e 2.bis, che legano questi due elementi noti e dalle quali possiamo ricavare un terzo elemento incognito; possiamo quindi scegliere una qualsiasi di queste relazioni, ad esempio la 1.bis, da cui possiamo ricavarci l’incognita  nel seguente modo:

Esercizi svolti

Disegniamo sempre il triangolo per meglio applicare le relazioni di base:

Risolviamo la 1). Essendo noti a e c dobbiamo trovare: b, e . Seguiamo  le indicazioni precedentemente  descritte per determinare tali elementi.

2° Caso: sono noti  i due cateti

Conosciamo dunque  b e c e dobbiamo determinare a, e .

Tra le relazioni dei triangoli rettangoli quelle che legano b e c sono le 3. e 3. bis, per cui utilizzando una delle due, ad es. la 3. ricaviamo il terzo elemento incognito nel seguente modo:

Esercizio svolto

Disegniamo sempre il triangolo rettangolo per meglio applicare le relazioni di base:

Essendo noti b e c, troviamo a, e seguendo  le indicazioni precedentemente descritte.

3° Caso: sono noti  un cateto e un angolo acuto

Conosciamo ad es. b e , resta da trovare a, c e .

Immediatamente si ricava che:           

Possiamo quindi trovare a utilizzando una delle due relazioni, 1. e 2., in cui sono presenti il cateto b e uno degli angoli acuti noti; utilizzando ad es. la relazione 1. che stabilisce un legame tra  b e  possiamo ricavarci a nel seguente modo:

Esercizi svolti

4° Caso: sono noti  l’ ipotenusa e un angolo acuto

Conosciamo a e ad es. , resta da trovare b, c e .

Si determina immediatamente l’altro angolo acuto dato che:

Esercizi svolti

Risolvi il seguente triangolo rettangolo ABC sapendo che: