Un’equazione di 2° grado in seno e coseno del tipo:
si dice omogenea di 2° grado in seno e coseno, infatti tutti i termini sono di secondo grado.
Si presentano i seguenti due casi :
1° Caso: se a = 0 oppure c = 0
ovvero nell’equazione data non compare il termine sen x oppure il termine cos x, allora l’equazione di partenza assume la forma:
b sen x cos x + c cos2 x = 0
oppure
a sen2 x + b sen x cos x = 0
in entrambi i casi, per risolverle si ricorre al raccoglimento del fattor comune, precisamente:
2° Caso: se a, c ≠ 0
ovvero nell’equazione compaiono i termini sen2 x e cos2 x, allora qualunche sia b l’equazione si risolve dividendo i singoli fattori di ambo i membri per cos2 x , ottenendo un’equazione di 2° grado in tg x2 :
La divisione per cos2x è lecito in quanto risulta cos x ≠ 0, infatti se cos x = 0 fosse soluzione dell’equazione data risulterebbe sen x = ±1 → sen2x = 1 e pertanto sostituendo tali valori di coseno e seno nell’equazione si avrebbe:
a . 1 + b . 1 . 0 + c . 0 = 0 → a = 0 impossibile essendo per ipotesi a ≠ 0
quindi l’equazione ottenuta di 2° grado in tg x è equivalente all’equazione data di 2° grado in seno e coseno, per cui risolvendo quella in tangente otteniamo tutte le soluzioni dell’altra.
Osservazione.
Se l’equazione di 2° grado in seno e coseno non è omogenea, ovvero è del tipo:
allora si riduce al caso precedente, ovvero in equazione omogenea, moltiplicando il termine noto d per la prima relazione fondamentale sen2 x + cos2 x = 1, dato che:
d . 1 = d (sen2 x + cos2 x )
pertanto si risolve con il metodo precedentemente descritto.
Esercizi risolti
Risolvere le seguenti equazioni di 2° omogenee o non omogenee in seno e coseno:
