Una disequazione si dice goniometrica se che contiene qualche funzione goniometrica nel cui argomento figura l’incognita .

Per le disequazioni goniometriche valgono gli stessi principi delle disequazioni algebriche; però bisogna tener presente il dominio, il codominio e la periodicità delle singole funzioni goniometriche: è bene rivedere la lezione Premesse ai modelli goniometrici prima di affrontare le disequazioni goniometriche.

Dapprima affronteremo lo studio di disequazioni elementari e successivamente prenderemo in esame alcune non elementari però ad esse riconducibili.

Disequazioni elementari sono del tipo:

sen x > b, cos x - b < 0,    tg x ≤ b, …

con  -1 ≤  b ≤  1 per le disequazioni in seno e coseno, essendo funzioni limitate tra questi due valori ; mentre per ogni valore di b  per la disequazione in tangente, che è una funzione illimitata.

Ci sono due metodi per la loro risoluzione quello grafico e quello della circonferenza goniometrica. Noi utilizzeremo per la loro risoluzione il Metodo della Circonferenza e la definizione delle funzioni goniometriche.

DISEQUAZIONI  ELEMENTARI IN SENO

Scriviamo la disequazione in forma canonica:

sen x > b    o    sen x <  b     con   -1 ≤  b ≤  1

dove al posto di “ < “ o “ > “ può esserci  il simbolo  di “ ≤ ” o “≥” .

Si tratta di determinare per quali valori dell’angolo x il seno assume valori maggiori oppure  minori di b.

Poiché il seno di un angolo rappresenta l’ordinata del punto della circonferenza goniometrica, risolvere le disequazioni date significa determinare gli angoli associati o corrispondenti ai punti della circonferenza goniometrica aventi ordinata maggiore oppure minore di b.

Il problema pertanto si risolve trovando questi punti e, quindi,  gli angoli al centro ad essi associati.

In generale:

1. consideriamo l’equazione ad essa associata:

      Dobbiamo pertanto determinare i  punti della circonferenza  goniometrica aventi ordinata b e di conseguenza le soluzioni sono le ampiezze degli angoli ad essi associati

2. Determiniamo tali punti: disegniamo la circonferenza goniometrica e la retta parallela all’asse delle x,   y = b; tale retta, se -1≤ b ≤1,  intersecherà la circonferenza in due punti P e P’, aventi stessa ordinata b, vedi figure:

3. Determiniamo gli angoli associati ai punti: congiungiamo i punti P e P’ al centro della circonferenza e consideriamo i due angoli associati aventi come lato origine OA, essendo A(0,1) origine di tutti gli archi, e aventi come secondo lato rispettivamente OP e OP’; indichiamo con a il minimo angolo, cioè che cade nel primo quadrante, tale che sen a = I b I, vedi figure:

4. Per determinare le soluzioni si osserva il verso della disequazione data :

§ se è strettamente “ > “ o “ < “ i punti associati agli angoli vengono esclusi; in caso di “ ≤ ” o  “≥” tali punti saranno inclusi tra le soluzioni della disequazione

§ se è sen x > b allora le soluzioni sono date dai punti della parte di circonferenza o dell’arco, che sta al di sopra della retta  y = b; precisamente partendo sempre dall’origine A degli archi si ha:

§ se è sen x < b   allora le soluzioni sono date dai punti della parte di circonferenza o dell’arco, che sta al di sotto della retta  y = b; precisamente:

5. Per determinare tutte le infinite soluzioni in R: aggiungiamo alle soluzioni trovate in [0;360°]  i multipli di 360° (2 π), per la periodicità della funzione seno, ovvero k360° (2kπ).

ESERCIZI GUIDATI

Risolvere le seguenti disequazioni goniometriche elementari in seno: