In analogia alla continuità delle funzioni di una variabile in un punto, si dice che:

Una funzione f(x,y) si dice continua in un punto P_o(x_o, y_o), di accumulazione per il suo dominio  D, se si verificano simultaneamente tutte e tre le seguenti condizioni:

1. esiste  f(x_o, y_o), ossia il valore della funzione in P_o

2. esiste finito

3.

In modo più sintetico, possiamo dire che una funzione è continua in P_o se il limite della funzione in P_o coincide con il valore che assume in quel punto:

Se ciò non si verifica diremo allora che la funzione è discontinua in P_o.

Se una funzione è continua in ogni punto del suo dominio D allora è continua in D

N.B.: Per definizione, la funzione f(x,y) in due variabili è continua in ogni eventuale punto isolato di D; tenendo presente che punto isolato è un punto appartenente a D e che non sia di accumulazione per D

Per le funzioni  f(x,y) continue si estendono tutti i teoremi delle funzioni continue di una sola variabile

Continuità parziale e continuità totale

Sia  P_o(x_o, y_o) un punto del dominio D di una funzione f(x,y) in due variabili, se in essa fissiamo il valore y, ossia y = y_o, è evidente che la funzione si riduce nella sola variabile x:  f(x, y_o)

Ebbene, se la funzione f(x, y_o) è continua  per x = x_o diremo che f(x,y) è continua parzialmente in P_o(x_o, y_o) rispetto alla variabile x

Analogamente, fissato il valore x = x_o, se la funzione f(x, y_o) è continua  per y = y_o diremo che f(x,y) è continua parzialmente in P_o(x_o, y_o) rispetto alla variabile y.

Evidentemente, una funzione f(x,y) continua in P_o(x_o, y_o), nel senso definito precedentemente e che diremo anche totalmente continua, è anche continua parzialmente rispetto alle variabili x e y.

Non è vero il viceversa, ossia una funzione continua parzialmente rispetto alle due variabili x e y non è detto che sia continua totalmente in un punto.

Esercizi Guidati

Stabilire se la seguente funzione è continua (totalmente) o solo parzialmente continua in R² :

Quindi la continuità totale  la continuità parziale ma la continuità parziale  la continuità totale