Operazioni e calcolo di limiti di funzioni

Operazioni e calcolo di limiti di funzioni

Mi propongo, mediante alcuni esempi, di fornire le principali indicazioni finalizzate al calcolo di limiti di funzioni che si presentano nelle varie forme indeterminate.

Facciamo alcune premesse:

1. Intuitivamente: si dice, in generale, che f(x) ha per limite l per x che tende ae si scrive:

con l e numeri finiti o infiniti ( sia + ∞ o - ∞) e con punto di accumulazione per il dominio di f(x) (ossia un punto in ogni intorno del quale, ovvero nelle sue immediate vicinanze a destra e/o a sinistra, eccetto al più, perché può appartenere o no al dominio, si addensano infiniti punti appartenenti al dominio della f(x) ): quando più scegliamo x vicino al valore di più la sua immagine f(x) si avvicina a un certo valore l.

2. Se:

si dice che f(x) è un infinitesimo

si dice che f(x) è un infinito

Con x_o^-, x_o+ si intendono rispettivamente l’intorno sinistro di x_o (in cui cadono valori molto prossimi ma inferiori, di una certa quantità infinitesima, a x_o) e l’intorno destro di x_o (in cui cadono valori molto prossimi ma superiori, di una certa quantità infinitesima, a x_o).

3. Per calcolare il limite della funzione (ovvero studiare il comportamento della f(x)) in un punto x_o di accumulazione è sufficiente calcolare il loro valore in x_o, ossia sostituire a x il valore di x_o. Infatti, in ogni intorno di x_o, ricordiamo che cadono infiniti punti, eccetto al più x_o, appartenenti al dominio della funzione e, quindi, in tali punti, esistono i corrispondenti valori f(x), cioè:

che si esprime dicendo che f(x) è una funzione continua nel punto x_o.

Per esempio:

Tutte le funzioni elementari (costanti, razionali., irrazionali, goniometriche, esponenziali,

logaritmiche e composte) sono continue in tutto R o in intervalli di R.

4. Partendo dalla conoscenza dei limiti di due funzioni f(x)e g(x) per x → x_o (punto di accumulazione), teniamo presente i seguenti teoremi relativi alle operazioni sui limiti:

5. Per i limiti della somma, del prodotto e del quoziente di due funzioni si ha la seguente tabella :


l	m	l + m	l ∙ m
l	0	l	0
0	0	0	0
l	+ ∞	+ ∞		0
l	- ∞	- ∞		0
+ ∞	m	+ ∞
- ∞	m	- ∞
	0
			+ ∞
		+ ∞ - ∞ ?	- ∞

Altre forme indeterminate sono le seguenti:.

6. Le seguenti forme:

sono denominate forme indeterminate in quanto non si può affermare con certezza e immediatezza, se esse rappresentano un numero finito, oppure l’infinito (positivo o negativo), oppure non esiste il limite. Sorge quindi il problema di trovare un procedimento che permetta di eliminare la forma di indecisione e determinare così il limite della funzione, qualora esista. In proposito, si deve subito precisare che non esiste un metodo generale che consenta, in ogni caso, di raggiungere questo risultato; pertanto, di volta in volta mediante artifici appropriati, e procedendo spesso per tentativi, come vedremo in seguito, si cerca di eliminare l’indeterminazione.

Svolgiamo, adesso, alcuni esempi in cui si presentano le forme di indecisione

stando sempre ben attenti ai modelli che vengono presi in esame, in quanto gli stessi o altri casi dubbi di altri tipi di funzioni verranno risolti in seguito con altre regole che sfruttano nuovi strumenti operativi.

Calcolo di limiti

Tenendo presente i teoremi e la tabella sopra illustrati, calcoliamo, stando ben attenti alle tecniche procedurali risolutive e ai modelli di funzioni, i seguenti limiti che si presentano nella:

1) Forma indeterminata: + ∞- ∞

· funzioni razionali intere (polinomiali):

Più in generale:

· funzioni irrazionali:

Calcoliamo, ad esempio, il seguente limite:

Per eliminare questa forma indeterminata si applica un particolare artificio: si razionalizza il numeratore, moltiplicando e dividendo per il fattoreallo scopo di ottenere una differenza di due quadrati: