Gli argomenti finora trattati ci consentono di studiare le proprietà di una funzione e di rappresentarla graficamente nel piano cartesiano.

In generale, per tracciare il grafico di una funzione y =f(x) si procede esaminando i seguenti punti:

1. Determinare il campo di esistenza della funzione

2. Determinare eventuali simmetrie:

• se f(-x) = f(x), cioè  la funzione è pari, allora il grafico è simmetrico rispetto all’asse y
• se f(-x) = - f(x), cioè la funzione è dispari, allora il grafico è simmetrico rispetto all’origine
• se è periodica di periodo T allora possiamo limitarne lo studio in un solo intervallo di ampiezza T:spesso le funzioni goniometriche sono periodiche di periodo T = 2π e comunemente si studiano nell’intervallo [0; 2π] oppure in [-π ; π].

3. Calcolare eventuali intersezioni con gli assi x e y:

• per y = 0 → intersezioni con l’asse x
• per x = 0 → intersezioni con l’asse y

4. Studiare il segno della funzione:ossia stabilire gli intervalli in cui essa è positiva, ponendo f(x)>0, di conseguenza si trova dove è negativa

5. Determinare l’andamento della funzione agli estremi del campo di esistenza, calcolando i relativi limiti e classificando eventuali punti di discontinuità, specificandone la specie; cerchiamo dunque gli eventuali asintoti:

6. Ricerca dei punti di massimo, minimo e flessi orizzontali tramite lo studio della derivata prima, in particolare gli zeri e il segno, operando in tal modo:

• calcolare la f ’(x) e il suo campo di esistenza per individuare eventuali punti critici (punti angolosi, cuspidi e flessi) dove  non è definita f ‘(x) ma esiste ed è continua invece la funzione f(x)
• trovare gli zeri della derivata prima, risolvendo l’equazione f ‘(x) = 0, per determinare i punti stazionari, ossia i punti a tangente orizzontali: massimi, minimi e flessi orizzontali
• risolvere la disequazione f ‘(x) >0, per individuare gli intervalli in cui f(x) è crescente  e di conseguenza quelli in cui è decrescente
• compilare eventualmente lo schema riassuntivo e rilevare i punti di massimo, minimo relativo e flesso orizzontale ed eventuali punti critici studiando f(x) e f ‘(x) nell’intorno di quei particolari punti di non derivabilità della funzione

7. Concavità e flessi obliqui, tramite lo studio della derivata seconda, in particolare gli zeri e il segno, operando in tal modo:

§ calcolare la f ’’(x)

§ trovare gli zeri, risolvendo l’equazione f ‘’ (x) = 0, per determinare gli eventuali punti di flesso obliquo

§ studiare il segno della derivata seconda, risolvendo la disequazione f ‘’(x) >0, per determinare gli intervalli in cui f(x) volge la concavità verso l’alto e di conseguenza quelli in cui volge la concavità verso il basso

§ compilare eventualmente uno schema riassuntivo per rilevare i punti di flesso obliquo  attraverso i quali la curva cambia il verso della concavità

8. Grafico della funzione: tracciare gradualmente il diagramma della funzione man mano che si ottengono le diverse informazioni nel corso dello studio della funzione: ogni informazione derivante dal calcolo algebrico deve essere subito interpretata graficamente. In tal modo in ogni fase dello studio si potranno confrontare i risultati algebrici con quelli grafici scoprendo di volta in volta eventuali incongruenze: questo momento di verifica è indispensabile per individuare tempestivamente errori e quindi, rivedendo i passi precedentemente fatti, apportare correzioni evitando che essi si propaghino nelle fasi successive dello studio.