Derivate delle funzioni
Il concetto di derivata , su cui si basa il calcolo differenziale, è uno dei più importante di tutta la matematica, sia in campo teorico che pratico.
Il calcolo differenziale affronta il problema di misurare gli incrementi o decrementi di una grandezza.
Per avere un’idea di ciò, affrontiamo ora il primo dei due problemi fondamentali, il problema della tangente e il problema della velocità istantanea, la cui risoluzione diede origine al concetto di derivata, e che pertanto rappresentano la base di partenza di tutto il calcolo differenziale.
Il problema delle tangenti
Prima di tutto dobbiamo definire con precisione che cosa debba intendersi per retta tangente ad una curva in un suo punto Po. Infatti, vedremo che non si può estendere ad una curva qualsiasi la definizione di retta tangente a una circonferenza nel punto Po, data nella geometria piana euclidea, come quella retta avente in comune con la circonferenza soltanto il punto Po “:
fig. 1)
Per renderci conto di ciò, osserviamo le figure 2a) e 2b) ove sono riportate geometricamente le rette tangenti a due curve qualsiasi in un punto Po :
fig. 2a) fig. 2b)
Come si osserva la retta tangente alla curva in Po non ha in comune con la curva, come in fig.1), solo il punto Po ma due punti distinti, come in fig.2a), oppure infiniti punti, come in fig.2b).
Pertanto diamo la seguente definizione generale di retta tangente ad una curva qualsiasi:
si chiama tangente tPo ad una curva in un suo punto Po la posizione limite a cui tende la secante s, passante per Po e per un altro punto generico P della curva, quando il punto P→ Po, muovendosi sulla curva:
Facendo riferimento al concetto di limite, possiamo scrivere:
Osservazioni
La posizione limite assunta dalla secante s deve essere sempre la stessa tPo sia che P →Po da destra che da sinistra, perché ricordiamo che si può parlare di limite di una funzione in un punto se limite destro e sinistro sono finiti e coincidenti, altrimenti si parlerà di limite destro e di limite sinistro.
Quindi, si potrà parlare di tangente tPo alla curva se e solo se esiste ed è unica la posizione limite della retta secante P Po quando P→ Po, qualunque sia la modalità con cui P si approssima, muovendosi sulla curva, al punto Po .
In caso contrario, vedi fig.3) si dirà che la curva non è dotata di tangente in Po in quanto la secante tende a due distinte posizioni limite, cioè a due distinte tangenti, a seconda che P→Po da destra oppure da sinistra:
fig. 3)
Un punto Po che presenta queste caratteristiche si chiama punto angoloso della curva, proprio per il fatto che in esso esistono due distinte tangenti.
Una volta definito con precisione il concetto di retta tangente a una generica curva, risolviamo analiticamente il problema di determinare l’equazione della retta tangente alla curva.
Consideriamo nel piano cartesiano, vedi fig. 4) una curva e due suoi punti Po(x0; f (x0)) e P(x0+h; f (x0+h)), con h un incremento ( ma potevamo scegliere anche un decremento ) dell’ascissa x0 del punto Po :
fig. 4)
Tracciamo le proiezioni ortogonali dei punti sugli assi e indichiamo con
∆x = (xo+h) - xo = h
l’incremento della variabile indipendente x e con
∆y = f(xo+h) – f(xo)
l’incremento della funzione relativo al passaggio del punto Po di ascissa xo a quello di P di ascissa xo+h.
Ricordando il concetto di coefficiente angolare di una retta noti due suoi punti , si ha che:
Dunque, si definisce derivata di una funzione f(x), definita nel dominio D, nel punto x0 ( interno a D ), il limite se esiste e finito del rapporto incrementale al tendere dell’incremento h a zero , e si indica generalmente con y‘ o con f ’(x0) :
Osservazioni
1) Il rapporto incrementale ∆y/∆x rappresenta geometricamente il coefficiente angolare della retta secante la curva e passante per i punti Po(x0; f (x0)) e P(x0+h; f (x0+h)):
2) Il limite per ∆x→0 del rapporto incrementale, ovvero la derivata di f in x0, è un numero che rappresenta geometricamente il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel suo punto Po:
3) Ricordando che il coefficiente angolare di una retta è uguale alla tangente goniometrica dell’angolo che la retta tangente (geometrica) alla curva forma con l’asse x, si ha in particolare che
m t = tg ∂
pertanto, essendo m t = f ’(x0),
il significato trigonometrico della derivata di una funzione in un punto è il seguente:
f ’(x0) = tg ∂
4) Dal significato geometrico e trigonometrico della derivata di f(x) in un punto, si può estendere il concetto di derivata infinita; infatti nel caso in cui la retta tangente alla curva è verticale, ossia parallela all’asse Y, come sappiamo, non è possibile determinare il coefficiente angolare e precisamente poiché trigonometricamente la retta tangente in tal caso forma un angolo di 90° si ha che
m t = tg 90° → ±∞ → f ’(x0) →±∞
pertanto possiamo dedurre che i punti della tangente verticale alla curva hanno derivata infinita.
5) Se la retta tangente alla curva è parallela all’asse X allora il suo coefficiente angolare è nullo e pertanto nei punti di tale tangente la derivata è nulla: f ’(x0) =0.
Una funzione si dice derivabile in tutto il suo dominio D se ammette derivata finita in tutti i suoi punti, ovvero se esistono finiti e coincidenti i due limiti destro e sinistro del rapporto incrementale quando h→0 da destra e da sinistra , cioè:
allora la funzione non è derivabile in tal punto e nel caso in cui
§ esistano finiti tali limiti si dice che f(x) ammette rispettivamente in x0 derivata destra e derivata sinistra e quindi geometricamente la curva presenta due distinte rette tangenti, per cui in x0 la curva presenta, come abbiamo già detto, un punto angoloso, che rientra tra i punti critici proprio perché in essi la funzione non è derivabile;
§ una delle derivate destra o sinistra è infinita in x0, per cui si hanno due distinte rette tangenti alla curva, di cui una verticale, si ha sempre in x0 un punto angoloso;
§ le derivate destre e sinistre sono entrambe infinite siamo in presenza di altri punti critici detti cuspidi o flessi a tangente verticale e precisamente:
fig. 5)
Come si osserva in fig.5) una qualsiasi secante il ramo destro della cuspide rivolta verso l’alto ha coefficiente angolare m s< 0 ( perché la retta forma con l’asse positivo delle x un angolo maggiore di 90°) e pertanto la secante tende alla posizione limite di tangente verticale in P0 (0; 0) mantenendo sempre m s< 0 fino a quando m s = m t = -∞ , viceversa accade per il ramo sinistro della cuspide, motivo per cui risulta f+’(x0) = - ∞ e f-’(x0) = +∞.
Si seguirà lo stesso ragionamento nel caso rappresentat0 in fig. 6):
fig. 6)
fig. 7)
Come si osserva, una qualsiasi secante il ramo destro e sinistro del flesso a tangente verticale (di tipo, in questo esempio, ascendente) ha coefficiente m < 0 e proprio per questo risulta f+’(x0) = f-’(x0) = +∞.
Viceversa accade se il flesso a tangente verticale è discendente.
La retta tangente ad una curva
Come abbiamo visto il coefficiente angolare della retta tangente alla curva y = f(x) nel suo punto x0 è la derivata, se esiste finita, della funzione f(x), pertanto per determinare l’ equazione della tangente basta porre in m della generica equazione di una retta passante per Po(x0; y0) la sua derivata calcolata in x0 :
y – f(x0) = m (x - x0 ) → y – f(x0) = f’(x0) (x - x0 )
Ad esempio, determiniamo l’equazione della tangente alla curva y = x2 –x nel punto P di ascissa x = 1
Calcoliamo dapprima l’ordinata di P:
y = f(1) = 0
poi, l’incremento della funzione in x0 = 1:
f (x0+h) – f(x0) =[(1+h)2 – (1+h)] – 0 = 1 +2h+h2 –1– h = h2 + h
infine, il limite del rapporto incrementale:
Continuità e discontinuità
Ricordiamo che se una funzione è continua in x0 non è detto che sia derivabile, basta infatti tenere presente che le funzioni aventi in x0 un punto angoloso o una cuspide o ancora un flesso a tangente verticale sono continue, vedi grafici, ma non derivabili in x0. Invece, si dimostra facilmente che se una funzione è derivabile in x0 è certamente continua in tal punto.
Pertanto:
Esercizio
Stabilire se la seguente funzione è continua o derivabile in x = 1:
