Premessa

Per studiare le funzioni in due variabili occorrerebbe definire nuovamente tutti i concetti infinitesimali introdotti per le funzioni reali di una variabile reale: elementi topologici, limiti e continuità, derivate, massimi e minimi.

Sarebbe quindi necessario dopo aver introdotto alcuni elementi topologici, precisare cosa s’intenda per limite di una funzione in due variabili e quali sono le funzioni continue prima di trattare le derivate parziali.

Poiché il nostro obiettivo non è lo studio rigoroso e completo di funzioni in due variabili, eviteremo di addentrarci in tali riformulazioni e, per quanto sarà possibile, faremo riferimento per analogie alle conoscenze relative alle funzioni in una variabile, giustificando intuitivamente alcune formule e proprietà.

Per evitare di introdurre le derivate parziali di una funzione di due variabili in un punto interno al suo dominio come il limite se esiste ed è finito dei rapporti incrementali rispetto alla x e alla y, in modo analogo a quanto fatto per la derivata di una funzione di una variabile, ricorriamo più semplicemente alla seguente osservazione.

Data una funzione di due variabili z = f(x, y) , si può studiare il suo andamento considerando costante una delle due variabili. Così ad esempio, consideriamo la funzione z = x² + y² + 1 , rappresentata in figura nel sistema cartesiano Oxyz:

Possiamo analizzare la funzione in una variabile che si ottiene mantenendo costante la y, attribuendole, ad esempio, il valore y = 1; di conseguenza, ci riduciamo a studiare la seguente funzione z = x² + 2 , ossia di tipo z = f(x) nella sola variabile x, che graficamente può essere rappresentata nel piano cartesiano Oxz ottenendo la seguente parabola, che non è altro che la sezione della superficie z = x² + y² + 1 , rappresentata in Oxyz, con il piano y = 1:

Quindi considerando come costante una delle due variabili della funzione z = f(x, y), la funzione diventa di fatto una funzione in una sola variabile e di conseguenza rimangono valide le definizioni di limite, continuità e derivata.

Pertanto:

v la derivata parziale rispetto alla variabile x della funzione z = f(x, y) altro non è che la derivata della funzione z = f(x) che si ottiene dalla funzione data considerando costante la y e che si indica con uno dei seguenti simboli:

v analogamente, la derivata parziale rispetto alla variabile y della funzione z = f(x,y) altro non è che la derivata della funzione z = f(y) che si ottiene dalla funzione data considerando costante la x e che si indica con uno dei seguenti simboli:

Si potranno considerare, qualora esistano, sia le funzioni derivate che le derivate in un punto, che sono numeri reali. Le derivate delle funzioni z = f(x, y) in un punto P_o(x_o, y_o) (di accumulazione per il dominio della funzione) verranno indicate rispettivamente con:

Dato che le derivate parziali delle funzioni in due variabili sono in realtà derivate di funzioni in una sola variabile, per esse valgono tutte le regole di derivazione date per le funzioni in una sola variabile: la definizione di derivata parziale di una funzione in due variabili è dunque una estensione di quella data per le funzioni in una variabile.

Quindi

v Per calcolare la derivata parziale di una  funzione f(x,y) di due variabili reali:

§ rispetto a x,  bisogna considerare, come detto, l’altra variabile y come una costante e quindi calcolarla come la derivata di una  funzione nella sola variabile x: z = f(x)

§ rispetto a y,  bisogna questa volta considerare l’altra variabile x  come una costante e quindi calcolarla come la derivata di una  funzione nella sola variabile y : z = f(y)

Esempi

1. Calcolare le derivate parziali della seguente funzione

z = x⁴ + y⁴ + 3x³y² + 4x – 6y + 2

Per calcolare la derivata parziale della funzione rispetto alla x basta derivare la funzione z = f(x), dato che manteniamo costante y, e ricordare le seguenti regole di derivazioni per una costante:

Quindi:

f_x’ = 4x³ + 0 (per la 1.) + 9x² y² (per la 2.) + 4 + 0 (per la 1.) + 0 = 4 x³ + 9x² y²  + 4

Analogamente, per calcolare la derivata parziale della funzione data rispetto alla y basta calcolare la derivata della funzione z = f(y) nella sola variabile y, dato che adesso manteniamo costante la x, e tenere presenti le analoghe regole di derivazioni in presenza di una costante:

Quindi:

f_y’ = 0 (per la 1.bis) + 4y³ +6 x³y (per la 2.bis) + 0 (per la 1.) -6 + 0 =  4y³ + 6 x³y - 6

2. Calcolare le derivate parziali della seguente funzione:   z = x ^.seny

f_x’= seny f_y’ = x ^.cosy

v Ricordiamo che una funzione di una sola variabile se è derivabile in un punto allora è anche continua in tal punto. Però questo non è più vera per le funzioni di due variabili:

Vi sono infatti delle funzioni derivabili parzialmente in un punto che non sono continue in tal punto, quindi la derivabilità non è più una condizione sufficiente per la continuità di una funzione in due variabili.

Questo accade perché la derivabilità della funzione f(x, y) in un punto rispetto a x, che come sai si riduce ad una funzione di una sola variabile x, implica la continuità della funzione in quel punto rispetto alla sola x, e la derivabilità della funzione in un punto rispetto a y, funzione della sola variabile y, implica la continuità della funzione in quel punto rispetto alla sola y, ma la continuità rispetto alle singole variabili non implica la continuità della funzione f(x, y) rispetto al complesso delle due variabili (x, y)

v Dal punto di vista geometrico, le due derivate parziali rispetto alla x e alla y in un punto P_o(x_o, y_o) rappresentano, ricordando il significato geometrico della derivata di una funzione in una sola variabile in un punto, i coefficienti angolari di due rette tangenti che individuano il piano tangente alla superficie nel punto P_o(x_o, y_o).