Finora abbiamo preso in considerazione funzioni reali y = f(x), ovvero della sola variabile reale x, adesso affronteremo nelle linee generali lo studio di funzioni reali z = f(x, y), ovvero di due variabili reali x e y.
Come lo studio di funzione di una variabile necessita per la sua rappresentazione grafica della conoscenza di elementi della geometria analitica nel piano, analogamente per comprendere lo studio di funzioni di due variabili è indispensabile essere a conoscenza di alcuni concetti di geometria analitica nello spazio. Noi però non prenderemo in esame dettagliatamente lo studio della geometria sia euclidea che analitica nello spazio, perché il nostro obiettivo non è la risoluzione di problematiche relative a figure geometriche nello spazio o lo studio completo sia analitico che grafico di funzioni di due variabili, bensì avere una idea di alcuni modelli dello spazio per comprendere la natura dei domini e condomini delle funzioni di due variabili e affrontare successivamente nuovi modelli matematici che necessita come prerequisiti alcuni elementi geometrici dello spazio. Pertanto, prenderemo in considerazione solo quegli aspetti minimi ed indispensabili che si possano facilmente dedurre per analogie e, quindi, intuitivamente dai modelli algebrici ed analitici affrontati nel piano.
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Piano |
Spazio |
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Sistema cartesiano Abbiamo visto come nel piano due rette x e y orientate, perpendicolari e passanti per uno stesso punto O e sulle quali è stato fissato la stessa unità di misura, determinano un sistema di coordinate cartesiano, ortogonale, monometrico che stabilisce tra i punti del piano Oxy e le coppie ordinate di numeri reali (x,y), chiamate rispettivamente ascissa e ordinata, una corrispondenza biunivoca: ad ogni punto del piano resta associato una ed una sola coppia ordinata di numeri reali e viceversa:
Inoltre, una funzione y = f(x) è rappresentata graficamente mediante punti (x,y) che soddisfano la sua equazione. |
Sistema cartesiano Date nello spazio tre rette x, y e z orientate, non appartenenti ad un medesimo piano, a due a due perpendicolari e passanti per il punto O e fissato su di esse la stessa unità di misura e l’origine si viene a determinare un sistema di coordinate cartesiane, ortogonale, monometrico che stabilisce tra i punti dello spazio Oxyz e le terne ordinate di numeri reali (x,y,z), dette rispettivamente ascissa, ordinata e quota, una corrispondenza biunivoca: ad ogni punto dello spazio resta associato una ed una sola terna ordinata di numeri reali e viceversa:
I tre piani passanti per O che contengono due dei tre assi si dicono piani cartesiani ed indicati come xy, xz, yz. |
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Nel piano abbiamo associato a particolari equazioni in due variabili F(x,y)=0, particolari curve e viceversa. Ad es., all’equazione di tipo y=mx + q abbiamo associato una retta; all’equazione y = ax2 + bx+ c una parabola e così via. Vediamo adesso che in modo analogo si può procedere nello spazio, ossia a particolari equazioni in tre variabili F(x,y,z)=0 assoceremo particolari superfici e viceversa |
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Modelli di Rette a x + b y + c = 0 (o y = m x + q) equazione cartesiana in forma implicita (o esplicita) che nel piano rappresenta una retta:
Particolari rette: § x = 0 Asse delle y § y = 0 Asse delle x
§ x = k retta parallela all’asse y § y = k retta parallela all’asse x
§ a x + b y = 0 retta passante per O(0,0)
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Modelli di Piani a x + b y + c z + d = 0 (o z = m x + n y + q) equazione cartesiana in forma implicita (o esplicita) che nello spazio rappresenta un piano:
Particolari piani: § x = 0 piano coordinato Oyz § y = 0 piano cartesiano Oxz § z = 0 piano coordinato Oxy § x = k piano parallelo al piano Oyz § y = k piano parallelo al piano Oxz § z = k piano parallelo al piano Oxy § a x + b y + c z = 0 piano passante per O N.B.: Se nell’equazione a x + b y + c + d = 0 manca una variabile, perché è nullo il suo coefficiente, allora rappresenterà un piano parallelo all’asse di tale variabile e quindi perpendicolare al piano individuato dagli assi delle altre due variabili: § b y + c z + d = 0 piano parallelo all’asse x § a x + c z + d = 0 piano parallelo all’asse y § a x + b y + d = 0 piano parallelo all’asse z |
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Intersezioni fra rette Due rette distinte o s’intersecano in un punto o sono parallele. Per determinare le coordinate del punto d’intersezione si risolve il sistema fra le equazioni delle due rette:
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Intersezioni fra piani Due piani distinti e non paralleli s’intersecano lungo una retta e per determinare la sua equazione si risolve il sistema fra le equazioni dei due piani. Es.: per determinare l’intersezione tra i piani di equazione: z = 2x + 3 y – 4 e z = 0 si risolve il seguente sistema:
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Luoghi geometrici F(x,y)=0 di 2° grado: Coniche v Circonferenza
di centro
v Ellisse:
v Iperbole:
v Parabola:
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Alcuni luoghi geometrici F(x,y,z)=0 di 2° grado: Superfici Quadratiche v Sfera di
centro
v Ellissoide:
Le sezioni sono ellissi
v Iperboloide a una falda:
Le sezioni in grigio con il piano Oxy e coni piani ad esso paralleli sono delle ellissi; le sezioni in rosso con i piani Oxz e Oyz o paralleli a essi sono iperboli. v Iperboloide a due falde:
Le sezioni con i piani Oxy e Oxz e con i piani ad essi paralleli sono iperboli; non esistono intersezioni della superficie con il piano Oyz mentre le sezioni con i piani a esso paralleli sono ellissi. v
Paraboloide ellittico:
Le sezioni con i piani Oyz e Oxz e con i piani a esso paralleli sono parabole; le sezioni con il piano Oxy è solo l’origine mentre con i piani ad esso paralleli quando esistono sono ellissi v Paraboloide
iperbolico:
Le sezioni con i piani Oyz e Oxz e con i piani a esso paralleli sono parabole; le sezioni con il piano Oxy e con i piani a esso paralleli sono iperboli. |
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e raggio 
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e
raggio 
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Osservazioni su alcuni modelli di equazioni nello spazio
Premetto che una superficie di rotazione è la superficie generata dalla rotazione di una curva attorno ad una retta fissa, detta asse.
In particolare, la superficie cilindrica è una qualsiasi superficie generata da una retta, detta generatrice, che si muove lungo una curva, detta direttrice.
In generale:
v Nello spazio un’equazione contenente due sole variabili rappresenta una superficie cilindrica, le cui generatrici sono le rette parallele all’asse della variabile mancante.
In particolare, l’equazione in forma implicita F(x,y)=0 di 2° grado che, come sai, nel piano rappresentano delle coniche, lo stesso modello di equazione (in cui manca z) invece nello spazio rappresentano delle superfici cilindriche, generate da rette parallele all’asse z (generatici) che si muovono lungo una curva (direttrice) del piano Oxy
Esempio
L’equazione x2 + y2 = 9 che nel piano rappresenta una circonferenza, la stessa invece nello spazio rappresenta una superficie cilindrica che ha come direttrice la circonferenza nel piano cartesiano Oxy e come generatrici le rette passanti per i punti della circonferenza e parallele all’asse z:
v Nello spazio un’equazione in una sola variabile rappresentano piani paralleli al piano cartesiano delle variabili mancanti.
Esempio 1
L’equazione x = 2, che nel piano rappresenta una retta parallela all’asse y, nello spazio invece, come già detto inizialmente in “Modelli di piani”, rappresentano piani paralleli al piano coordinato delle variabili mancanti
Esempio 2
L’equazione x2 – 4 = 0, che nel piano rappresenta una parabola, nello spazio rappresentano i due piani x = -2 e x = 2 paralleli al piano coordinato Oyz