Per il calcolo di un integrale abbiamo presupposto finora che la funzione (integranda) fosse continua nell’intervallo d’integrazione perché è condizione sufficiente per l’integrabilità di una funzione. Però, esistono alcune funzione che, nell’intervallo in cui si richiede se sono integrabili, presentano un punto di discontinuità (o al più un numero finito di punti di discontinuità) oppure tendono all’infinito (e quindi a un valore non ben definito) in uno o in entrambi gli estremi d’integrazione. Quindi, per vedere se queste funzioni sono integrabili oppure se è possibile calcolare l’area della parte di piano racchiusa dalla curva e dall’asse delle x si procede nel seguente modo:
1° Caso: f(x) presenta un punto di discontinuità nell’intervallo d’integrazione [a, b]:
Ø Se f(x) presenta una discontinuità nell’estremo inferiore a dell’intervallo [a, b] non possiamo calcolare:
dato che la
funzione non assume un valore definito in a; però f(x)
esiste subito dopo a ossia nell’intorno destro di a e
precisamente in a +, con
una quantità
piccolissima e positiva (
), allora possiamo
calcolare il seguente integrale definito:
dato che, escluso
a, la f(x) ora risulta continua in [a +, b].
Ebbene, se esiste ed è finito il seguente limite:
allora possiamo dire che la funzione f(x) è integrabile “ impropriamente” in [a, b] e si pone:
e si
chiama “integrale improprio”.
Se il limite invece non esiste o ha valore infinito (divergente) allora la
funzione non è integrabile in [a, b].ù
Esempio 1.
Stabilire se
la funzione è integrabile in [0, 1],
ossia se è calcolabile:
Come sai la
funzione è definita per x
0 quindi
presenta un punto di discontinuità in 0, estremo inferiore d’integrazione,
allora per vedere se la funzione data è integrabile in [0, 1] basterà far
vedere che:
esiste
finito
Procediamo quindi al calcolo dapprima dell’integrale definito e poi a quello del limite della funzione primitiva trovata e calcolata agli estremi d’integrazione ,come si procede in generale per gli integrali definiti:
=
Non esistendo finito il limite, la funzione non è integrabile nell’intervallo considerato.
Ø Analogamente, se la f(x) presenta una discontinuità nell’estremo superiore b dell’intervallo d’integrazione [a, b] non possiamo calcolare:
dato che la
funzione non assume un valore definito in b; però f(x)
esiste subito prima di b ossia nell’intorno sinistro di b e
precisamente in b +, con
, allora possiamo
calcolare il seguente integrale definito:
dato che,
escluso b, la f(x) ora risulta continua in [a, b-]. Ebbene,
se esiste ed è finito il seguente limite:
allora possiamo dire che la funzione f(x) è integrabile “ impropriamente” in [a, b] e si pone:
e si
chiama “integrale improprio”.
Se il limite invece non esiste o ha valore infinito allora la funzione non è
integrabile in [a, b].
Esempio 2.
Stabilire se
esiste il seguente integrale improprio .
Come osservi la funzione integranda non è definita nell’estremo superiore dell’intervallo d’integrazione [1, 2] in quanto esiste per 2-x>0, ossia il suo dominio è per x<2, allora dobbiamo verificare se:
esiste
finito
Procediamo al calcolo nel seguente modo:
Poiché esiste ed è finito il limite allora la funzione data è integrabile.
Ø In ultima
analisi, se f(x) invece presenta una
discontinuità in un punto c interno all’intervallo d’integrazione allora,
applicando la proprietà degli integrali e quanto osservato nei sottocasi precedenti,
possiamo dire che la funzione è continua negli intervalli [a, c-] e [c+
, b]
e porre:
se esistono
e sono finiti entrambi i limiti; allora la funzione è integrabile e
si
chiama “integrale improprio”;
in caso contrario la funzione non sarà integrabile e non esiste l’integrale
improprio.
Esempio 3.
Stabilire se esiste il seguente
integrale improprio:
La funzione integranda
è definita per quindi non è continua nel
punto 0 interno all’intervallo [-1, 1] però risulta continua in [-1, 0-
] e [0+
, 1] e
quindi esiste l’integrale improprio se:
esistono
e sono finiti
Calcoliamo:
La funzione non è integrabile nell’intervallo dato e quindi non esiste l’integrale improprio .
2° Caso: f(x) tende all’infinito in uno o in entrambi gli estremi dell’intervallo d’integrazione
Ø La f(x) tende ad infinito nell’estremo superiore dell’intervallo d’integrazione:
allora non essendo finiti gli estremi d’integrazione non possiamo calcolare questo integrale per quanto f(x) sia continua per x>a; però possiamo calcolarlo nell’intervallo [a, b] con b una quantità finita e porre:
se esiste
ed è finito il limite ; in tal caso la funzione è integrabile e si dice integrale improprio, in caso
contrario non sarà integrabile e non esiste l’integrale improprio.
Ø La f(x) tende ad infinito nell’estremo inferiore dell’intervallo d’integrazione:
allora non essendo finiti gli estremi d’integrazione non possiamo calcolare questo integrale per quanto f(x) sia continua per x<b; però possiamo calcolarlo nell’intervallo [a, b] con a una quantità finita e porre:
se esiste
ed è finito il limite. In tal caso la funzione è integrabile e si dice integrale improprio; in caso
contrario la funzione non sarà integrabile e non esiste l’integrale improprio.
Ø La f(x) tende ad infinito agli estremi dell’intervallo d’integrazione:
allora integriamo la funzione in [a, b], con a e b finiti e porre.
se esistono
finiti entrambi i limiti. In tal caso la funzione è integrabile e si dirà integrale improprio.
Esempi
1° Stabilire se esiste
Dobbiamo
vedere se: esiste finito.
Calcoliamo:
La funzione è integrabile nell’intervallo illimitato inferiormente e l’integrale improprio esiste.
2° Stabilire se esiste
Dobbiamo
vedere se: esiste finito.
Calcoliamo:
Dunque l’integrale esiste e si dirà improprio.
3° Stabilire se esiste
Dobbiamo
vedere se: esistono finiti.
Calcoliamo: