Salve prof

Per il calcolo di un integrale abbiamo presupposto finora che la funzione (integranda) fosse continua nell’intervallo d’integrazione perché è condizione sufficiente per l’integrabilità di una funzione. Però, esistono alcune funzione che, nell’intervallo in cui si richiede se sono integrabili, presentano un punto di discontinuità (o al più un numero finito di punti di discontinuità) oppure tendono all’infinito (e quindi a un valore non ben definito) in uno o in entrambi gli estremi d’integrazione. Quindi, per vedere se queste funzioni sono integrabili oppure se è possibile calcolare l’area della parte di piano racchiusa dalla curva e dall’asse delle x si procede nel seguente modo:

1° Caso: f(x) presenta un punto di discontinuità nell’intervallo d’integrazione [a, b]:

Ø Se f(x) presenta una discontinuità nell’estremo inferiore a dell’intervallo [a, b] non possiamo calcolare:

dato che la funzione non assume un valore definito in a; però f(x) esiste subito dopo a ossia nell’intorno destro di a e precisamente in a +, con una quantità piccolissima e positiva ( ), allora possiamo calcolare il seguente integrale definito:

dato che, escluso a, la f(x) ora risulta continua in [a +, b]. Ebbene, se esiste ed è finito il seguente limite:

allora possiamo dire che la funzione f(x) è integrabile “ impropriamente” in [a, b] e si pone:

e si chiama “integrale improprio”. Se il limite invece non esiste o ha valore infinito (divergente) allora la funzione non è integrabile in [a, b].ù

Esempio 1.

Stabilire se la funzione è integrabile in [0, 1], ossia se è calcolabile:

Come sai la funzione è definita per x 0 quindi presenta un punto di discontinuità in 0, estremo inferiore d’integrazione, allora per vedere se la funzione data è integrabile in [0, 1] basterà far vedere che:

esiste finito

Procediamo quindi al calcolo dapprima dell’integrale definito e poi a quello del limite della funzione primitiva trovata e calcolata agli estremi d’integrazione ,come si procede in generale per gli integrali definiti:

Non esistendo finito il limite, la funzione non è integrabile nell’intervallo considerato.

Ø Analogamente, se la f(x) presenta una discontinuità nell’estremo superiore b dell’intervallo d’integrazione [a, b] non possiamo calcolare:

dato che la funzione non assume un valore definito in b; però f(x) esiste subito prima di b ossia nell’intorno sinistro di b e precisamente in b +, con , allora possiamo calcolare il seguente integrale definito:

dato che, escluso b, la f(x) ora risulta continua in [a, b-]. Ebbene, se esiste ed è finito il seguente limite:

allora possiamo dire che la funzione f(x) è integrabile “ impropriamente” in [a, b] e si pone:

e si chiama “integrale improprio”. Se il limite invece non esiste o ha valore infinito allora la funzione non è integrabile in [a, b].

Esempio 2.

Stabilire se esiste il seguente integrale improprio .

Come osservi la funzione integranda non è definita nell’estremo superiore dell’intervallo d’integrazione [1, 2] in quanto esiste per 2-x>0, ossia il suo dominio è per x<2, allora dobbiamo verificare se:

esiste finito

Procediamo al calcolo nel seguente modo:

Poiché esiste ed è finito il limite allora la funzione data è integrabile.

Ø In ultima analisi, se f(x) invece presenta una discontinuità in un punto c interno all’intervallo d’integrazione allora, applicando la proprietà degli integrali e quanto osservato nei sottocasi precedenti, possiamo dire che la funzione è continua negli intervalli [a, c-] e [c+, b] e porre:

se esistono e sono finiti entrambi i limiti; allora la funzione è integrabile e si chiama “integrale improprio”; in caso contrario la funzione non sarà integrabile e non esiste l’integrale improprio.

Esempio 3.

Stabilire se esiste il seguente integrale improprio:

La funzione integranda è definita per quindi non è continua nel punto 0 interno all’intervallo [-1, 1] però risulta continua in [-1, 0-] e [0+, 1] e quindi esiste l’integrale improprio se:

esistono e sono finiti

Calcoliamo:

La funzione non è integrabile nell’intervallo dato e quindi non esiste l’integrale improprio .

2° Caso: f(x) tende all’infinito in uno o in entrambi gli estremi dell’intervallo d’integrazione

Ø La f(x) tende ad infinito nell’estremo superiore dell’intervallo d’integrazione:

allora non essendo finiti gli estremi d’integrazione non possiamo calcolare questo integrale per quanto f(x) sia continua per x>a; però possiamo calcolarlo nell’intervallo [a, b] con b una quantità finita e porre:

se esiste ed è finito il limite ; in tal caso la funzione è integrabile e si dice integrale improprio, in caso contrario non sarà integrabile e non esiste l’integrale improprio.

Ø La f(x) tende ad infinito nell’estremo inferiore dell’intervallo d’integrazione:

allora non essendo finiti gli estremi d’integrazione non possiamo calcolare questo integrale per quanto f(x) sia continua per x<b; però possiamo calcolarlo nell’intervallo [a, b] con a una quantità finita e porre:

se esiste ed è finito il limite. In tal caso la funzione è integrabile e si dice integrale improprio; in caso contrario la funzione non sarà integrabile e non esiste l’integrale improprio.

Ø La f(x) tende ad infinito agli estremi dell’intervallo d’integrazione: