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Esprimi il concetto di limite finito di una funzione

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Il limite di una funzione è un'operazione, o meglio un operatore che permette di studiare il comportamento di una funzione nell'intorno di un punto, e grazie al quale possiamo stabilire a quale valore tende la funzione man mano che i valori della  variabile dipendente si approssimano a quel punto.

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In matematica, il limite di una funzione è un operatore che permette di analizzare e studiare il comportamento o, bensì, l'andamento di una funzione all'avvicinarsi del suo argomento a un dato valore, definito limite di una funzione, oppure l'andamento di una successione al crescere illimitato dell'indice, definito limite di successione.

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Be' la definizione formale di limite è questa:

Data una funzione y=f(x) definita nell'intervallo aperto (a, b)  con  x0 ∈ (a, b) si dice cha la funzione ha per limite il numero finito l, per x tendente ad x0 se, scelto arbitrariamente un δ numero positivo , esiste conseguentemente a tale scelta, un altro numero ε, tale che per ogni
|x – x0 | < δ  con x ≠ x0
cioè x diverso da x0 ed appartenente all'intorno aperto ( x0 - δ ; x0 + δ )  si abbia
| f(x)-l  |<ε
che significa       
 l-ε <f (x)  <l+ ε
in tal caso si può scrivere:
  
lim f (x) = l
x→x0
con notazione simbolica si scrive:
∀ ε>0,∃ δ>0∶| x-x_(0 ) |< δ →| f (x)-l |<ε
che viene letta: per ogni valore di ε maggiore di 0 esiste un δ maggiore di 0 tale che per qualsiasi valore di x appartenente all'intervallo circolare (x0 - δ, x0 + δ) ne consegue che la f(x) appartiene all'intervallo ( l – ε, l + ε ).
La definizione dice che, fissato un numero, piccolo a piacere viene sempre trovato un intorno di x0 tale che per ogni x appartenente a tale intorno,  f(x)  appartiene  all'intorno  circolare       (l – ε, l + ε) cioè  f(x) è molto vicino ad l.

Trovate le differenze!!!

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Le differenze fra le nostre risposte e la sua prof?

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Esatto, guardate e riconsiderate le risposte.

Answer 1

In matematica, il concetto di limite serve a descrivere l'andamento di una funzione all'avvicinarsi del suo argomento a un dato valore (limite di una funzione) oppure l'andamento di una successione al crescere illimitato dell'indice (limite di una successione).

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Guarda la definizione formale e rifletti un po'

Answer 2

Se la funzione y=f(x) risulta definita nell'intervallo (a,b)  con x0 ∈(a,b)

si dice cha la funzione ha per limite il numero finito l, per x tendente ad x0. 

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Direi di ripassare la definizione formale, no?

Answer 3

I limiti servono a descrivere l'andamento di una funzione y=f(x) quando la x si avvicina ad un certo valore, ad esempio un valore per il quale la funzione non risulta definita e pertanto siamo interessati a come si comporta la funzione in prossimità di tale punto.